Cena opce

   Obchodovat opce lze tak, že na příslušný požadovaný opční kontrakt jednoduše kliknu do své obchodní platformy a zadám příkaz k jeho nákupu. To dnes chápe každý. Kde se ale berou všechna ta čísla s cenami jednotlivých kontraktů na jednotlivých strikes a v jednotlivých expiracích a jak jsou vlastně stanovována? Generují je burzovní servery, které pracují s různými algoritmy a modely, které na základě dostupných údajů vypočítávají jednotlivé ceny opčních kontraktů, které jsou pak viditelné v obchodních platformách. Pominu nyní vliv nabídky a poptávky na cenu opčního kontraktu a pokusím se jednoduše ukázat, bez nějakého „vědeckého podtextu“, jak jsou takové ceny stanoveny.

   Základem výpočtu ceny opčního kontraktu je nějaký matematický model. Modelů pro výpočet takové ceny je spousta a jejich struktura je velmi odlišná. Nebudu se zabývat popisováním a odlišnostmi jednotlivých modelů, pokusím se objasnit výpočetní schéma nejznámějšího ze všech modelů, a to Black – Scholesova modelu. Při prvním pohledu na obrázek s matematickým tvarem tohoto modelu to vypadá jako nepochopitelná změť znaků, výrazů a matematických symbolů. Tento chuchvalec pak stojí alespoň za mírné rozpletení, aby došlo k nějakému alespoň mírnému pochopení a následnému praktickému využití. Na internetu existuje množství sofistikovaných aplikací, které Vám po zadání vstupních údajů vypočítají teoretickou hodnotu opcí, ale je to pořád v těch aplikacích nějak zamontováno, jak se k těmto cenám opcí výpočtem došlo. Pokud bych chtěl takovým aplikacím věřit, musím zjistit, jestli „mluví pravdu“. To nezjistím jinak než pochopením základní kostry výpočtu ceny opcí, které tyto aplikace provádějí.

   Z Black-Scholesova vzorce pro výpočet teoretické hodnoty opcí vyplývá, že ke stanovení ceny opce potřebujeme mít určité vstupní veličiny, bez jejichž znalosti takovou cenu nemůžeme spočítat, těmito hodnotami jsou:

1/ Cena podkladového aktiva – cena za kterou se momentálně obchoduje

2/ Strike – na kterém strike chceme cenu vypočítat

3/ Čas trvání opčního kontraktu – doba života opce

4/ Volatilita

5/ Dividendy – pokud se za života sledované opce vyplácejí

6/ Úroková míra – existující za života opce

   Z obrázku vyjadřující Black-Scholesův vzorec vyplývá, že vlastně celá podstata výpočtu teoretické ceny opce je jen o jednoduchém pochopení jednotlivých významů vzorce.

  První dva řádky – vzorce – pak vyjadřují jednotlivé postupy pro výpočet ceny Call opce a Put opce, na dalších dvou řádcích je výpočet jakési hodnoty d1 a d2, které jsou použity ve vzorci v prvních dvou řádcích. Nebudu uvádět, co jednotlivé výrazy znamenají, protože vzorce se v různých pramenech v tomto označování výrazů liší, ale zkusím si vzorec převést na výše uvedené veličiny „v češtině“. Pokud tedy dosadím za jednotlivé symboly česká slova, tak je možné vzorce lépe „rozklíčovat“ a také možná pochopit.

    Na první pohled je zřejmé, že se jedná vlastně o složeninu tvořenou vždy z rozdílu dvou velmi podobných hodnot. K lepšímu grafickému pochopení tohoto rozdílu hodnot v „počeštělém vzorci“ označím tyto jednotlivé části složitého vzorce.

   Pokud si tyto složeniny takto převedu do češtiny, tak je zjevné, že cena opce Call je tvořena Cenou podkladu upravenou o „nějakou hodnotu“ (část A) od které je odečítána hodnota Strike opce upravená o „nějakou hodnotu“ (část B). U výpočtu ceny opce Put je situace obrácená, kdy se odečítá od hodnoty Strike upravenou o „nějakou hodnotu“ (část B“) hodnota Ceny podkladu upravenou o „nějakou hodnotu“  (část A“).

   Tento výpočet pak respektuje základní logiku, kdy cena opčního kontraktu se odvíjí od jeho vnitřní hodnoty – hodnoty, kterou je opce „v penězích“. Pokud tedy cena Call opce je v úplném zjednodušení vypočtena jako Cena podkladu mínus Strike a k tomu je přidáno „ještě něco dalšího“, tak při ceně akcie 145 USD bude mít Call opce se strike 135 (tedy 10 bodu „v penězích“) cenu 145 USD (cena akcie) -135 USD (strike) = 10 USD a „ještě něco dalšího“, cena takové opce na tomto strike 135 tak bude minimálně těchto 10 USD. Hodnotu „ještě něco dalšího“ bych pak mohl jednoduše pojmenovat jako opční prémium. Pokud by naopak byla hodnota strike „mimo peníze“, tedy nad současnou obchodovanou cenou, například bych chtěl vypočítat hodnotu Call opce se strike 150, potom by tímto rozdílem byla hodnota „žádná vnitřní hodnota“, konkrétně cena 145 USD (cena akcie) -150 USD (strike) = -5 USD a „ještě něco dalšího“. Protože vnitřní hodnota opce nemůže být záporná ale nejméně nula, byla by výsledkem tohoto výpočtu právě hodnota označovaná jako „ještě něco dalšího“ – tedy čisté prémium. Ve úplném a nejjednodušším shrnutí by tedy taková matematická interpretace BS modelu mohla znít, že opce „ITM – v penězích“ má cenu „vnitřní hodnoty + prémium“ a opce „OTM – mimo peníze“ má pak hodnotu „pouze prémium“. 

    Smyslem tohoto vzorce z takové „české ptačí perspektivy“ je, že opce Call i Put na stejném strike by měly mít sobě navzájem odpovídající hodnoty podle tohoto strike v závislosti na ceně podkladu. Pokud se podívám na vzorec z pohledu hodnot, které známe a které si můžeme do vzorce jednoduše dosadit (Cena Podkladu, Strike, Život opce, Volatilita, Úroky a Dividenda), potom nám zbývají pouze dva výrazy, které je potřeba rozklíčovat, a které jsou v obdélníku A a B označeny šipkami:

   e – neboli Exponenciální funkce (červené šipky), jejímž exponentem je v jednom případě součin -Dividenda a Život Opce (ve vzorci A) a v druhém (ve vzorci B) je exponentem součin -Úroky a Život Opce. Z této exponenciální funkce nám bude stačit za zaznamenání, že pokud nebude za Života Opce vyplácena Dividenda, potom bude hodnota Dividenda = 0, celý exponent bude nula a cokoliv na „nultou“ je vždycky jedna, takže hodnota této exponenciální funkce bude také jedna a nebude mít na počítanou cenu opce žádný vliv. To samé platí u druhé exponenciální funkce, kdy na vliv ceny opce mají vliv Úroky nebo doba Života Opce, pokud bude hodnota Úroků nula nebo hodnota Života opce nula (opce je úplně těsně před expirací), tak obdobně bude koeficient nula a celá druhá exponenciální funkce bude (opět cokoliv na „nultou“ je jedna) mít hodnotu jedna a nebude mít pak na cenu počítané opce žádný vliv. Hodnotu exponenciální funkce nám hravě vypočítá Excel (funkce EXP), takže si nemusíme s tímto výpočtem lámat hlavu.

   N – neboli Distribuční funkce Normálního rozdělení (zelené šipky), která má ve vzorci pro výpočet opcí argumenty Djedna a Ddva. Jejich výpočet převedený do češtiny je vidět na screenu výše. Tyto argumenty jsou jednoduše spočítatelné v Excelu, protože obsahují pouze námi známé hodnoty (Cena Podkladu, Strike, Život opce, Volatilita, Úroky a Dividenda), zbytek výpočtu tvoří jednoduché matematické operace. Také hodnotu distribuční funkce nám spočítá Excel (funkce NORMSDIST), takže nemusíme mít obavu, že toto bude pro nematematika nějaký nepřekonatelný problém.

    Celý výpočet teoretické hodnoty opce Call nebo Put bychom potom podle tohoto modelu mohli zjednodušit tak, že nejdříve vypočítáme hodnoty Djedna a Ddva, jako argumenty distribuční funkce, která se nám v Black-Scholesově modelu objevuje a tyto potom dosadit do samotného vzorce pro výpočet jednotlivých cen pro Call i Put.

No a k čemu je to celé vlastně dobré a jak znalosti a pochopení tohoto vzorce využít pro vlastní obchodování?

   Vše by mohlo prakticky vyplynout z převedení celého vzorce do Excelu, který by se mohl stát základem pro jednoduché opční výpočty. Protože by bylo dosti kostrbaté a nepraktické jednotlivé části výpočtu opční ceny zadávat do Excelu pomocí logických funkcí, udělal jsem to tak, že jsem v Excelu vytvořil pro jednotlivé ceny opcí Call a Put samostatné funkce. Přesně podle postupu s předešlého výpočtu jsem nejdříve „Excelu řekl“, jak má vypočítat hodnoty Djedna a Ddva, jako argumenty distribuční funkce, abych potom tyto vypočítané argumenty vložil do funkce, která přímo vypočte cenu Call nebo Put na zadaném strike podle příslušných parametrů. V Excelu, který je přiložen k tomuto příspěvku jsou vytvořeny speciální funkce CallCena a PutCena, také můžete tyto funkce vidět, jak jsou ve VBA naprogramovány a tyto si můžete například zkopírovat do Vašeho excelu a potom s těmito funkcemi běžně pracovat (jednoduše si zkopírujete celý viditelný text kódu). Pro ty, kteří neví, jak se k funkcím ve VBA dostat – kliknete na kartu „Vývojář“, potom na „Visual Basic“ a uvedený script můžete ze sekce Module celý kopírovat a přenášet do Vašeho Excelu, kde si vašeho „Vývojáře“ a okno „Visual Basic“ stejným způsobem otevřete. Zdatnější znalci excelu uvidí, že fukce jsou ve VBA vytvořeny „otrockým“ přepisem uvedených vzorců Black-Scholesova modelu do VBA, téměř nic světoborného. (při otevírání excelovského sešitu musíte na výzvu programu „povolit makra“)

   Pokud si takový svůj Excel se zkopírovaným kódem otevřete nebo využijete přiložený, tak můžete přímo v buňce zadávat výpočet ceny Call a Put opcí, tyto funkce CallCena a PutCena mají vždy šest argumentů, které musíte do funkce dosadit, těmito argumenty jsou CenaPodkladu, Strike, ZivotOpce, Uroky, Volatilita, Dividenda, tedy ty známé argumenty, které cenu opce tvoří. Po správném zadání všech argumentů se nám v buňce s funkcí objeví cena příslušné opce. V přiloženém Excelu jsou jednotlivé argumenty uvedeny v levé části v bledě modře označených buňkách tabulky.

   Aby byly jednotlivé argumenty funkce CallCena a PutCena zadány správně pro Vaše další výpočty, tak musíte vědět, že:

1/ Cena podkladového aktiva – zadává se jako klasické číslo

2/ Strike – na kterém strike chceme cenu vypočítat – zadává se jako klasické číslo

3/ Život opce – zadává se jako klasické číslo, které je rozdílem data pořízení opce a data zbavení se opce, vše přepočteno na roční bázi, takže tento výsledný rozdíl dělíme číslem 365

4/ Volatilita – zadává se v %

5/ Dividendy – zadává se v % výplatním poměru k ceně podkladového aktiva a v její anualizovaném tvaru – např. XYZ vyplácí 4 x ročně 0,50 USD dividendu, tedy celkem 2 USD/rok.  Cena XYZ je 50 USD, výsledkem je 2/50 = 0,04 = 4%

6/ Úroková míra za života opce – jaká je aktuální úroková míra US státních dluhopisů v období do expirace opčního kontraktu

    Pokud takto dosadíte tyto hodnoty do fukce CallCena a PutCena, objeví se Vám ve výsledku ceny opcí. Podívejte se do ukázkového Excelu, jak jsou tam tyto hodnoty zadány a uvidíte, že práce s takovou tabulkou je velmi jednoduchá. Po zadání hodnot do modrých buněk nejenže uvidíte cenu Call a Put opce na zadaném strike, ale také se vám vygeneruje jednoduchý opční řetězec s pěti strikes na každou stranu od ATM hodnoty, sestavený právě z těchto naprogramovaných funkcí (v tabulce je také vidět buňku „Krok Strike“ pro vyplnění například hodnotou 2.5, kdyby strikes v opčním řetězci byly od sebe takto vzdálené). 

   Abychom si mohli potvrdit a ověřit, že funkce v Excelu pracují správně, připojuji screen se zadanou cenou a parametry ve srovnání s aplikací, kterou si můžete stáhnout například ze stránek Interactive Brokers. Do tabulky jsou zadány současné ceny akcie AAPL obchodující se za 142,27 USD, která například za dobu života opce vyplácí čtvrtletní dividendu ve výši 0,57 USD/akcii (potom do řádku Dividenda uvedeme údaj podle výpočtu: 0,57 x 4 = 2,28 USD/rok, cena akcie je 142,47 USD, potom 2,28 USD/142,47 USD = 1.60%).  Doba života opce je 25 dnů tak, aby zahrnovala také tuto vyplácenou dividendu. Hodnota Implied Volatility byla vyplněna hodnotou 22,69% a úroky byly stanoveny ve výši 1,75% p.a. Ceny jsou téměř identické, jak ve vytvořeném Excelu tak v aplikaci z IB, rozdíly jsou způsobeny pravděpodobně zaokrouhlováním. Porovnával jsem ceny Call i Put opcí se strike 142.

   Přestože jsem uvedl, že se nebudu zabývat jinými modely než Black-Scholesovým modelem, uvedu srovnání výpočtu ceny opcí podle jiného známého opčního oceňovacího modelu – Binomického modelu, jehož kalkulaci můžete využít v aplikaci na stránkách Livevol. Pokud zadám stejné parametry a provedu takový výpočet ceny opcí na strike 142, uvidím výpočet ceny, který se liší od BS modelu o cca +/- 0,20 USD u každé s opcí. Protože nevím, jak byla aplikace binomického modelu tvořena (ani se o ni nebudu pokoušet) tak je zde významný rozdíl. Jak bych si ji měl vysvětlit nebo kterému modelu více věřit?

    Nebudu se pouštět do kritiky jednotlivých modelů a složitě matematicky dokazovat, kde například udělali autoři BS modelu chybu, protože takových fundovaných diskuzí je k dispozici velké množství a přebrodit se přes ně představuje být vybaven matematickými dovednostmi nacházejícími se za alespoň mým horizontem poznání. V jedné funkcionalitě ale BS model není úplně přesný, pokud je matematicky vyjádřen jako na výše uvedených obrázcích a dosti silně se rozchází s obchodní realitou. Pokud do jeho výpočtu zahrnu výplatu dividendy způsobem, jakým jsem ji popsal, tedy v jejím anualizovaném tvaru, tak to znamená, že cena opce osahuje takovou vyplácenou dividendu, a to tak, jako kdyby každý den vyplácela dividendu ve výši vypočtenou na tento jeden den. Takto to ale ve skutečnosti není, protože výše dividendy, pokud se vyplácí za dobu života opce, se zcela promítá do hodnoty Put opce, aby bezprostředně po její výplatě na Ex-Dividend Day se v hodnotě této Put opce téměř neodrážela. Tuto skutečnost ve svém výpočtu tak lépe momentálně zachycuje výpočet podle binomického modelu podle obrázku výše. Nevím ale, jestli je to „dokonalostí“ binomického modelu nebo nějaká jiná příčina.

  Pokud jsou k výpočtu ceny opce podle takového BS modelu nutné mít k dispozici údaje o Ceně Podkladu, Strike, Délce života opce, Implied Volatilitě, Úroku a Dividendě, pak můžeme, pokud známe právě počítanou cenu opce například z opční obchodní platformy, vypočítat každou jednotlivou dílčí hodnotu tvořící takový výpočet. Z praktického hlediska je totiž na první pohled jasné, že na cenu opce má největší vliv hodnota Implied Volatility, která je pak v takovém výpočtu „největším hráčem“. Pokud bychom totiž například zjišťovali cenu opcí na stejný strike u akcií, které se obchodují za stejnou cenu, mají stejnou dobu do expirace za stejných úrokových podmínek a například nevyplácejí dividendu, pak by měly tyto opce mít stejnou hodnotu – pokud by ovšem měly stejnou hodnotu Implied Volatility. Z této jednoduché úvahy pak vyplývá, že Implied Volatilita je tím největším hybatelem ceny opčních kontraktů, její výše se do ceny okamžitě a velmi razantně promítá a tvoří její cenu. Pokud bych chtěl tuto skutečnost demonstrovat na nějaké obchodní realitě, tak na níže uvedeném obrázku je vidět momentální cena Call opcí na strike 100 akciového titulu Time Warner Inc (TWX), které se obchoduje cca za 100 USD a má Implied Volatilitu na hodnotě cca 10%, opce má 23 dnů do expirace. Cena opcí na strike 100 se pohybuje mezi 0,81 – 1,20 USD.

   Na dalším obrázku je vidět opční řetězec akciového titulu Masimo Corp. (MASI), který se obchoduje za téměř totožnou cenu 100 USD, ovšem hodnota Implied Volatility je zhruba 30%, tedy hodnota třikrát vyšší než u předcházejícího titulu, opce má opět 23 dnů do expirace. Cena opcí na strike 100 se pak pohybuje mezi 3,50 – 4,50 USD.

  Cena opcí na stejném strike se stejnou expirací za stejných úrokových podmínek a bez dividendy se pak diametrálně odlišuje. Hodnoty opcí u titulu s vyšší Implied Volatilitou jsou více než třikrát vyšší. Vše je způsobeno právě touto Implied Volatilitou, všechny ostatní podmínky pro výpočet ceny opcí jsou totiž identické. 

   Protože známe ceny jednotlivých opcí a známe všechny ostatní parametry, dá se pak pomocí matematického oceňovacího modelu vypočítat, jaká je právě hodnota této Implied Volatility. Tyto hodnoty mohou být velmi užitečné k obchodnímu použití, protože obchodování opcí je především o obchodování volatility. Vzorec a technika výpočtu Implied Volatility podle BS modelu je dosti sofistikovaná, naštěstí jsou však volně k dispozici aplikace, které nám podle zadaných podmínek takovou hodnotu Implied Volatility vypočítají. Například na Livevol můžeme jednu takovou najít. Na obrázku je vidět výpočet takové Impied Volatility právě u titulu Time Warner pro strike 100 za ceny opce ve výši 1,20 USD. Po zadání expirace a úroků vidíme výpočet momentální Implied Volatility této opce ve výši 9,85%, což odpovídá údajům z předcházejících obrázků.

  Obchodování opcí vypadá mnohdy velmi komplikované a jakoby teoreticky náročné. Myslím si, že není třeba se takových vlastností vůbec obávat a není zase tak obtížné jim alespoň jednoduše porozumět. Excel s teoretickým výpočtem opčních cen, o kterém psal v tomto článku, si můžete stáhnou zde Teoretický výpočet ceny opcí a vyzkoušet si některé popisované funkcionality nebo se podívat na jednoduchý VBA kód výpočtů a funkcí.